来一把剪刀石头布吧！

这学期选修的别的专业的课程。一开始看课程的名称叫做 “game theory”，我还以为是游戏理论，但是真正上课才知道，翻译成中文是 博弈论。不过，实际上我认为博弈本身即是游戏的重要要素之一，所以，课程还是相当吸引我的。只不过就是，有点难……话不多说，让我们进入博弈论的世界吧。

剪刀，石头，布！

什么是game theory?

游戏理论 (Game Theory) 是研究决策者（称为玩家）在特定规则和情境下如何做出最佳决策的理论和方法。它广泛应用于经济学、政治学、社会学、生物学、计算机科学等领域，以分析和理解竞争与合作行为。以下是游戏理论的一些基本概念和类型：

基本概念

玩家 (Players)：参与决策过程的个体或团体。
策略 (Strategies)：玩家可以选择的行动方案。
收益 (Payoffs)：玩家在特定策略组合下获得的结果，通常用数值表示。
博弈 (Game)：由玩家、策略集合和收益函数构成的模型。

在这里，我尤其想提一下Payoffs的概念。可以说，所有博弈的过程都是围绕Payoffs，玩家的最终目标，就是为了让自己的收益最大化，因此，所有的决策，都是根据Payoffs来决定的。之后所有的决策方案，也都是根据Payoffs来执行的。

博弈类型

静态博弈 (Static Games)：玩家同时做出决策，不知道其他玩家的选择。通常用矩阵形式表示（例如，囚徒困境）。
动态博弈 (Dynamic Games)：玩家依次做出决策，每个玩家可以观察到前面的决策。通常用扩展形式表示（例如，国际象棋）。
完全信息博弈 (Games of Perfect Information)：所有玩家对博弈的结构和其他玩家的选择完全了解。
不完全信息博弈 (Games of Imperfect Information)：至少有一个玩家对其他玩家的选择或博弈的某些方面不了解。
零和博弈 (Zero-Sum Games)：一个玩家的收益完全等于其他玩家的损失，总和为零。
非零和博弈 (Non-Zero-Sum Games)：玩家的收益总和不一定为零，可以有合作和双赢的可能。

关键概念和解

纳什均衡 (Nash Equilibrium)：在给定其他玩家策略的情况下，没有玩家可以通过改变自己的策略而获得更高的收益。即每个玩家的策略都是对其他玩家策略的最佳回应。
占优策略 (Dominant Strategy)：无论其他玩家选择什么策略，某个玩家选择该策略总能获得更高的收益。
混合策略 (Mixed Strategy)：玩家以一定的概率选择不同的纯策略。
子博弈完美均衡 (Subgame Perfect Equilibrium)：在每个子博弈中，策略组合都是纳什均衡。

在这里，最重要的概念就是 纳什均衡，在后面的内容中，会更加详细的介绍。

经典博弈示例

囚徒困境

囚徒困境是一个相当有名的博弈论例子。

两个罪犯被分别审问，如果双方都招供，各判 5 年；如果一方招供另一方不招供，招供者免罪，不招供者判 10 年；如果双方都不招供，各判 1 年。纳什均衡是双方都招供。

博弈论的知识系统概览

根据老师的PPT，博弈论整体的知识系统概览如下：

在这一节课中，我们主要讨论 **“不合作博弈”**的情况。

偏好关系（preference relation）

基本定义

给定一个选择集合𝑋，其中的元素表示可供选择的不同选项或物品。偏好关系通常用符号⪰表示，它具有以下几种形式：

1. 弱偏好⪰
  $x\succeq y$ 表示x至少和y一样好。
1. 严格偏好 $\succ$
  $x\succ y$ 表示x比y好。
1. 无差异 $\sim$
  $x\sim y$ 表示x和y大致相等。

效用函数(Utility Function)

效用函数 (Utility Function) 是一种将选项（或物品）映射到实数值的数学工具，用于量化个体对不同选项的偏好程度。效用函数的核心思想是用一个数值表示每个选项的“满意度”或“效用”，从而使得比较不同选项变得更加直观和简单。

定义

效用函数 $ u:X\rightarrow R$ 是一个从选项集合𝑋到实数集合R的映射。对于两个选项𝑥和𝑦，如果u(x)>u(y)，则表示个体更偏好𝑥而非y。

苹果例子

假设我们有三个苹果：红苹果 (Red Apple, R)、绿苹果 (Green Apple, G) 和黄苹果 (Yellow Apple, Y)，个体的偏好关系如下：
红苹果 R≻G 绿苹果
绿苹果 G≻Y 黄苹果

我们可以通过效用函数为每个苹果赋予一个效用值𝑢以反映这种偏好关系。设定如下的效用值：

$u(R)=3 \\ u(G)=2 \\ u(Y)=1$

在这个例子中，效用函数𝑢满足偏好关系：

因为R≻G，所以u®>u(G) (即3>2)
因为G≻Y，所以u(G)>u(Y) (即2>1)

期望效用（Expected Utility）

有时候我们对于一个事物的偏好可能会由于其不确定性而无法确定，一个很直观的例子就是彩票。
例如：
彩票A，50%的几率获得100元，50%的几率“谢谢惠顾”
彩票B，100%的几率获得50元。

我们大部分人对于两者的偏好应该是，偏向彩票B，可以表示为：

$u(100元)=18 \\ u(50元)=10 \\ u(0元)=0$

因此

$E(U(A))=18*0.5+0*0.5=9<E(U(B))=10$