Game-Theory-博弈论（2）

烧桥策略 (Burning Bridges Strategy)

烧桥策略 (Burning Bridges Strategy) 是博弈论中的一种策略选择，旨在通过放弃或摧毁某些未来的选择或回头路，来增强当前决策的可信度和坚定性。这个策略的名称源自于军事术语，指的是军队在跨越桥梁后将其摧毁，以防止敌人追击，同时也阻止自己撤退。

釜底抽薪

我们来看一个例子：

理性的🐖
两只猪，一只是大猪，另一只是小猪，被放入一个箱子中。
箱子的一端有一个杠杆，当按下时，会在另一端分配食物。
按下杠杆的猪必须跑到另一端；到达那里时，另一只猪已经吃了大部分（但不是全部）的食物。
主导猪能够防止从属猪在两只猪都在食物前时获取任何食物。
它们的生存依赖于获取尽可能多的食物。
哪只猪会按杠杆？

我们可以来设定一下这个game的payoff矩阵：

小猪	拉杆	等待
大猪
拉杆	4，-1	3，2
等待	5，-1	0，0

• 5表示全吃
• -1表示饿死了
• 当小猪等待大猪拉杆的时候，小猪能够先吃2份，随后大猪赶到，赶走小猪，吃掉剩下三份

在这种情况下，我们会发现，当大猪拉杆时，小猪应该选择等待；当大猪等待时，小猪还是应该等待；只要小猪拉杆，它就得死！

所以，“小猪等待”成为了它破釜沉舟的办法（占优策略）。

• 因此，烧桥策略是一种特殊的占优策略。

混合策略 (Mixed Strategy)

混合策略 (Mixed Strategy) 是博弈论中的一个重要概念，用于描述玩家在多个策略之间进行概率混合的决策方式。与纯策略 (Pure Strategy) 不同，纯策略是玩家选择一个确定的策略，而混合策略则是玩家根据一定的概率分布在多个策略之间进行选择。

我们来看一个和概率相关的game.

匹配硬币（matching coins）
两个玩家A和B，每个人各自手上有一枚硬币，他们同时选择硬币的正反面并同时展示出来。
如果两枚硬币的面相同，则A获胜，A获得一美元，B失去一美元
如果两枚硬币的面不同，则B获胜，B获得一美元，A失去一美元

我们来看一下这个game的payoff矩阵：

B	正面	反面
A
正面	1，-1	-1，1
反面	-1，1	1，-1

我们会发现，这个game里面没有纯纳什均衡，因为无论一个玩家做什么决策，另一个玩家都能通过改变其决策来制胜。

• 但是，这里面可以存在混合纳什均衡

首先，我们来考虑A的最佳响应策略。

1. A假设B会选择正面，且概率为q

2. 则B会选择反面的概率为1-q

3. 因此我们可以得到两个A的期望效用：

   $$E_A(正面)=1*q+(1-q)*(-1)=2q-1 \\ E_A(反面)=(-1)*q+(1-q)*1=1-2q$$

4. 因此我们能知道：

   $$if A_{最佳响应}=正面 \\ 2q-1>1-2q \rightarrow q>\frac{1}{2}$$

   $$if A_{最佳响应}=反面 \\ 2q-1<1-2q \rightarrow q<\frac{1}{2}$$

   $$if A_{最佳响应}=正面=反面 \\ 2q-1=1-2q \rightarrow q=\frac{1}{2}$$

同样，对于玩家B也是如此

混合纳什均衡的定义则是，两者处于策略概率相同的状态。
所以本案例的混合纳什均衡为（0.5，0.5）和（0.5，0.5）

• 注意我没有写错，两个（0.5，0.5）是不一样的，是分别对于玩家A和B来说，各有一个本game的纳什均衡，只不过恰好数值一样。

纳什均衡的一些性质

1. 一场博弈中必然存在至少一个纳什均衡（可以是混合纳什均衡）
2. 一般情况下，纳什均衡的数量是奇数
3. 如果一个博弈有2k+1个纳什均衡，则至少有K个是混合纳什均衡。

连续策略集合（continuous strategy sets）

连续策略集合（continuous strategy sets）是指玩家可以在一个连续区间内选择策略，而不是仅限于几个离散的选择。

产量竞争（Cournot 竞争）

一个典型的例子是量产竞争，也被成为Cournot竞争。

有两个糕点房九月生活和元祖，生产同一种蛋糕。它们生产蛋糕的产量为0到无穷大。
它们将生产的蛋糕送到同一个超市贩卖。
我们令九月生活的产量为q_九，令元祖的产量为q_元
令市场对蛋糕的定价为P=a-b(q_九+q_元).
在这里我们为了具体讨论，我们令a=240,b=1,且生产一个蛋糕的成本为C=60元

根据以上条件，我们可以算出两个糕点房的收益函数：

$$u_九 =q_九*(P-60) \\ =q_九*(240-q_九-q_元-60)\\ =q_九*(180-q_九-q_元)$$

$$同理 \\ u_元 =q_元*(180-q_九-q_元)$$

可以看得出，这是一个抛物线，我们求该抛物线的导数为0的地方算其极值

$$\frac{\partial u_元}{\partial q_元}=180-q_九-2*q_元=0 \\ q_元 = \frac{180-q_九}{2}$$

同理

$$\frac{\partial u_九}{\partial q_九}=180-q_元-2*q_九=0 \\ q_九 = \frac{180-q_元}{2}$$

因为纳什均衡是两方互为最佳响应策略的时刻，所以我们可以直接联立两个方程，表示他们同时互为最佳响应策略。

得到：

$$q_元 = \frac{180-q_九}{2}=\frac{180-\frac{180-q_元}{2}}{2} \\ q_元 = 60\\ 同理\\ q_九 = 60$$

对于一般的Cournot竞争来说，以下为一般情况

示例分析：Cournot 竞争

假设两家公司 ( A ) 和 ( B ) 在市场上竞争，它们分别选择产量 ( q_A ) 和 ( q_B )。市场价格 ( P ) 是产量的递减函数，例如 ( P(Q) = a - bQ )，其中 ( Q = q_A + q_B )。

• 公司 ( A ) 的收益函数 ( u_A = q_A (a - b(q_A + q_B)) - c q_A )
• 公司 ( B ) 的收益函数 ( u_B = q_B (a - b(q_A + q_B)) - c q_B )

其中 ( c ) 是单位生产成本。

1. 求解公司 ( A ) 的最佳回应函数：

$$\frac{\partial u_A}{\partial q_A} = a - 2bq_A - bq_B - c = 0$$

$$q_A = \frac{a - c - bq_B}{2b}$$

2. 求解公司 ( B ) 的最佳回应函数：

$$\frac{\partial u_B}{\partial q_B} = a - 2bq_B - bq_A - c = 0$$

$$q_B = \frac{a - c - bq_A}{2b}$$

3. 求解纳什均衡：

通过联立上述两个方程，可以求解 ( q_A ) 和 ( q_B )：

$$q_A = \frac{a - c - b \left( \frac{a - c - bq_A}{2b} \right)}{2b}$$

$$q_A = \frac{a - c}{3b}$$

$$q_B = \frac{a - c}{3b}$$

因此，纳什均衡是 ( q_A = q_B = \frac{a - c}{3b} )。

零和博弈（Zero-Sum Game）

零和博弈（Zero-Sum Game）是博弈论中的一种特殊类型的博弈。在零和博弈中，参与者的利益总和为零，即一个玩家的收益完全等于另一个玩家的损失。换句话说，一个玩家的得益总是以另一个玩家的损失为代价，因此博弈中的收益和损失相互抵消。

剪刀石头布

在剪刀石头布游戏中，两名玩家同时选择剪刀、石头或布。如果两人选择相同，则平局，双方都没有收益。如果选择不同，则一方获胜，另一方失败：

玩家A\玩家B	剪刀	石头	布
剪刀	0, 0	-1, 1	1, -1
石头	1, -1	0, 0	-1, 1
布	-1, 1	1, -1	0, 0

Min-max策略和max-min策略

Min-Max策略

定义

Min-max策略是指在对手采取最优策略的前提下，选择使自己损失最小的策略。

应用

在决策过程中，玩家会考虑对手的所有可能策略，并假设对手会采取使自己收益最大化的策略。
然后，玩家选择在对手采取最优策略的情况下，使自己损失最小的行动。

例子

在国际象棋中，玩家会考虑对手的所有可能走法，并选择对自己最不利的走法作为对手的策略。然后，玩家选择一个能最小化最大损失的走法。

Max-Min策略

定义

Max-min策略是指选择使自己收益最小化的策略，从而在这种情况下使自己的收益最大化。

应用

在决策过程中，玩家会考虑所有可能的情况，并选择使自己收益最小的策略。
然后，玩家选择在这种情况下使自己收益最大的行动。

例子

在拍卖中，一个投标人可能会选择一个最坏情况下收益最小的出价，然后在这些出价中选择一个使自己收益最大的出价。